Exercice 1 1. Onconsidère les suites(un)n>1et(vn)n>1dénies par : 1 11 1 un+ += 1 + +lnn et vn=un: 2 3n n n+1 R 1dt1 (a) Pourtout entier naturelnnon nul, montrer que :6 6. n+ 1t n n (b) Montrerque les suites(un)n>1et(vn)n>1sont monotones. (c) Déterminerlim (unvn). n!+1 (d) Endéduire que les suites(un)n>1et(vn)n>1sont convergentes et de même limite. n 1 11P1 2. Pourtout entier naturelnnon nul, on noteSn= + + + =. n+ 1n2+ 2n n+k k=1 (a) Montrerqueuu=Sln 2. 2n nn (b) EndéduirelimSn. n!+1 3. Pourtout entier naturelnnon nul, on note : ln 2ln 2ln 2 Tn+= exp+ exp + expn; n+ 1n+ 22n 2 (a) Etablirque pour toutxde lintervalle]0; 1]:1 +x <exp(x)<1 +x+x. (b) Endéduire un encadrement deTn. 1 11 1 (c) Justierque :+ + +<. 2 22 (n+ 1)(n+ 2)(2n)n (d) DéterminerlimTn. n!+1
Exercice 2 On donne un réelxet u entierntels que :0< x <1etn>2. On estime que dans une population f la proportion dindividus connaissant la signication du sigle M.B.A estx. On interrogenpersonnes de la population F et on demande à chacune dentre elle de choisir entre trois dénitions di¤érentesA1,A2,A3du sigle M.B.A. celle qui lui paraît la bonne. La dénitionA1étant la dénition exacte, on admet que les personnes connaissant la dénition du sigle M.B.A. choisissent nécessairementA1, les autres personnes (ignorantes) répondent au hasard. De pus, on suppose que les réponses fournies par les di¤érentes personnes sont indépendantes entre elles. On note : Clévénement "la personne choisie connait la signication du sigle M.B.A." Dilévénement "la personne choisie donne la réponseAi",16i63
1. (a)Pour16i63, on notepiles probabilitéspi=p(Di). 1 + 2x1x Montrer quep1=etp2=p3=. 3 3 (b) Calculerla probabilitéq(x)quune personne ayant choisie la réponseA1connaisse la signication du sigle M.B.A.
1/2
2. Pouri= 1;2;3, on désigne parXila variable aléatoire réelle prenant pour valeurs le nombre de réponse Aichoisies par lesnpersonnes interrogées. (a) Donnerla loi de probabilité de chaque variable aléatoireXi. (b) Calculerlespérancemiet lécart-typeide chaque variable aléatoireXi. n (c) Montrerque, pouri= 2 et 3,mim< <1. 3 n 2 (d) Montrerque pouri= 1;2;3,(i)6. 4 3. Onveut estimer la valeur dex, pour ce faire on constitue n échantillons de 30 personnes chacun. Les échantillons étant notése1; e1e; : : : ;N. Pour16j6N, on noteYjle nombre de personnes de léchantillonejayant choisi la réponseA1. Y1+Y2+ +YN On poseZN= N (a) Pourtoutj,16j6N, donner, en fonction dex, lespérance et la variance deYj. (b) Endéduire, en fonction dexet den, lespéranceE(ZN)et la varianceV(ZN)deZN. (c) Enutilisant linégalité de Bienaymé-Tchébychev, montrer que, pour tout réeltstrictement positif, 30 06p(jZNm1j>t)6: 2 4N t (d) Endéduire que :limp(jZNm1j< t) = 1. N!+1 Ainsi,Zest une bonne approximation dem1. (e) Sur50 échantillons de 30 personnes, on a relevé une moyenneZ50= 12(de réponsesA1). Donner, alors, une estimation dex.